| 拓扑学基础（2008）自学考试大纲
一、课程性质与学习目的
拓扑学是数学专业的一门基础课程，它主要研究拓扑空间在同胚变换下的不变量或不变性质。它在许多领域有着广泛的应用。学习拓扑学对于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力都有着十分重大的作用。通过拓扑学的学习，我们能从较高观点探讨《数学分析》、《实变函数》以及《几何学》中若干问题的认识和理解，为进一步学习和研究《拓扑学》及现代数学的其它分支奠定基础。
二、课程内容与考核目标
（一）集合论初步
1、课程内容
集合的基本概念 集合的基本运算 关系 等价关系 映射 集族及其运算 可数集 不可数集
2、课程难点
等价关系 集族
3、考核要求
（1）对关系、等价关系、映射、集族、笛卡尔积、可数集、不可数集等概念要求识记；
（2）理解关系、等价关系、映射、集族、笛卡尔积、可数集、不可数集的有关性质；
（3）掌握集合的基本运算，集族的运算及基本公式，并会用这些公式解决问题。
4、考核目标
通过这部分的学习，使学生能够掌握集合论的初步知识，为进一步学习拓扑学打下基础。
（二）拓扑空间与连续映射
1、课程内容
度量空间和连续映射 拓扑空间和连续映射 邻域与邻域系 导集 闭集 闭包 内部边界 基与子基 拓扑空间中的序列
2、课程难点
基、子基的性质；
3、考核要求
（1） 对度量空间、拓扑空间、开集、邻域、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列等概念要求识记。
（2） 理解拓扑空间的定义及有关拓扑空间的概念，拓扑空间连续映射的定义，连续映射的一些等价定义；
（3） 掌握拓扑空间、开集、邻域、映射在一点连续、连续映射、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点的性质，并会应用这些性质解决问题。掌握拓扑空间的验证方法，及一些比较特殊的拓扑空间（离散拓扑空间，平庸拓扑空间，可数补空间，有限补空间等）。
4、考核目标
使学生掌握拓扑学的基础知识，为进一步学习拓扑学打下基础。
（三）子空间，（有限）积空间，商空间
1、课程内容
子空间 （有限）积空间 商空间
2、课程难点
商空间的概念及性质
3、考核要求
（1）对子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑、嵌入、积空间、投射、商映射、商空间、开（闭）映射的定义要求识记；
（2）理解子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑与原拓扑空间拓扑的关系；