| 1、设 和 是两个拓扑空间。如果 是一个一一映射，并且 和 都是连续映射，则称 是一个同胚映射或同胚。
2、设 是一个拓扑空间，如果 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正规空间。
3、设 是一个拓扑空间。如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个紧致空间。
五、简答题（每小题4分，共8分）
1、答案：对于任意 ，设 是 的任何一个邻域，则有 ，由于 ，从而 ，因此 ，故 .
2、答案：
六、证明题（本大题共5个小题，其中1、2、3、4每题6分，第5小题7分，共31分）
1、证明：若 是 的一个不连通子集，则在 中有非空的隔离子集 使得 .因此 ………………………………… 3分
由于 是连通的，所以 或者 ，如果 ，由于 ，所以 ，因此 ，同理可证如果 ，则 ，均与假设矛盾。故 也 是 的一个连通子集。 …………………………………………………………………… 6分
2、证明：若 满足第一可数公理，则在 处，有一个可数的邻域基，设为V x ，因为X是可数补空间，因此对 ， 是 的一个开邻域，从而 ，使得 .
于是 ， …………………………………………………3分
由上面的讨论我们知道：
因为 是一个不可数集，而 是一个可数集，矛盾。
从而X不满足第一可数性公理。 ………………………………6分
3、证明：设 ，若 有一个开邻域 含有 中的有限多个点，设 ，则 是一个有限集，从而 是一个闭集，故 是一个开集且是 的一个开邻域。 …………………………………3分
又易知 ，从而 ，矛盾。故 是无限集。 …………………………………………………………………6分
4、证明：充分性：对任意 ，于是 ，由于 是闭集，所以 是开集，从而有 的开邻域 使得 ，于是 分别是 的开邻域，且 ，从而 是Hausdorff空间。 ……………………………………………………………3分
必要性：若 是hausdorff空间，对 ，则 和 分别有开邻域 ，使得 ，从而 ，由于 是 中的开集，所以 是其每一点的邻域，故 是开集，从而 是闭集。 ……………………………………………………………6分
5、证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员 使得 . …………………………………3分
由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域 ，使得 ，从而有 ，从而A有有限子覆盖 ，因此Y是X的一个紧致子集。 ………………7分
河北省教育考试院