4、若拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个           ；

　　5、正则的 空间称为                 ；

　　三、判断题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分；其中判断1分，说明理由3分）

　　1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（      ）

　　2、设拓扑空间 满足第二可数性公理，则 满足第一可数性公理（  ）

　　四、名词解释（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）

　　1、   同胚映射

　　2、   正规空间：

　　3、紧致空间

　　五、简答题（每题4分，共8分）

　　1、设 是一个拓扑空间， 是 的子集，且 .试说明 .

　　2、在实数空间R中给定如下等价关系：

　　或者 或者

　　设在这个等价关系下得到的商集 ，试写出 的商拓扑T .

　　六、证明题（本大题共5个小题，其中1，2，3，4，每题5分，第6小题6分，共31分）

　　1、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个连通子集。

　　2、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间。证明X不满足第一可数性公理。

　　3、设 是一个 空间， ， ，证明：对 的每一个邻域 有 是无限集。

　　4、设 是一个拓扑空间，证明 是hausdorff空间当且仅当积空间 的对角线 是一个闭集。

　　5、设 是一个正则空间， 是 的一个紧致子集， .证明：如果 ，则 也是 的一个紧致子集。

　　河北省《拓扑学基础》课程自学考试模拟试卷参考答案与评分细则

　　一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

　　1、②  2、④    3、③    4、④    5、①   6、①

　　二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

　　1、

　　2、

　　3、在连续映射下保持不变的性质

　　4、可分空间

　　5、 空间

　　三、判断题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分；其中判断1分，说明理由3分）

　　1、答案：√

　　理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有 ，由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以 是连续的。

　　2、答案：√

　　理由：设拓扑空间 满足第二可数性公理， 是它的一个可数基，对于每一个 ，易知 是点 处的一个邻域基，它是 的一个子族所以是可数族，从而 在点 处有可数邻域基，故 满 足第一可数性公理。

　　四、名词解释（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）

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